UNIDAD 2

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

2.1.1 Definiciones

Transformación geométrica: Una operación u operaciones geométricas que permiten
producir una nueva figura (Homólogo) a partir de otra (Original).

 Clasificación: 

• Transformación directa: Se conservan el sentido en el plano orientado
• Transformación inversa: Cuando los sentidos del originail y el homólogo son contrarios.

Clasificación en función al aspecto de la figura homóloga: 

• Isométrica: Se conservan las dimensiones y ángulos.
  Las transformaciones isométricas se denominan movimientos.
• Isomórfica: Cuando se conserva la forma de la figura original (los ángulos)
• Anamórfica: Cuando cambia la forma de la figura original. 
  
  
  Elementos característicos: Definen las correspondencias entre las figuras original y
  homóloga en una transformación.
  Producto de transformaciones: Es la aplicación sucesiva de dos o más transformaciones.
  
  

  2.1.2 Transformaciones Isométricas

  Simetría central

  Se trazan segmentos que unen los puntos de una figura origianl con el Centro de Simetría (C.S.) y se prolongan con una longitud igual a la existente entre el punto y el C.S.
  • Elemento característico: Centro de simetría
  • Propiedades:
  • Involutivo: Dos simetrías sucesivas producen el elemento original
  • Directo: Conserva la relación de ordenación en el plano.

   

  Simetría axial

  Se traza una perpendicular desde un punto al eje de simetria (e.s.) y se prolonga la misma distancia desde el punto en el eje.
  Elemento característico: Eje de simetría
  
  • Propiedades:
  • Involutivo: Dos simetrías sucesivas producen el elemento original
  • Inverso: No conserva la relación de ordenación en el plano. 
   
  
  
  
  

  Traslación       

  Se sitúa el extremo de un segmento paralelo al vector de traslación (v.t.) sobre el punto en la figura original y el otro extremo en el punto homólogo.
  
  Elemento característico: Vector de traslación
  • Propiedades:
  • No es Involutivo:
  • Directa: Conserva la relación de ordenación en el plano.
  

  Giro

  Se traza por el punto de la imagen original un arco con centro en el centro de giro (C.G.) que abarque el ángulo de giro.
  
  Elemento característico: Centro de giro, ángulo de giro.
  
  
  • Propiedades:
  • No es Involutivo:
  • Directa: Conserva la relación de ordenación en el plano.
  

  2.1.3 Transformaciones Isomórfas

  Homotecia

  Se traza la recta que contiene al punto de la imagen original y al centro de homotecia (C.H.) y a partir del C.H., la distancia dada por la razón de homotecia (k) por la longitud entre el C.H.
  Y el punto origial.
  • Propiedades:
  • No es Involutivo:
  • Directa: Conserva la relación de ordenación en el plano.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

  2.2 Coordenadas homogéneas y representación matricial

  
  
  

  Muchas aplicaciones gráficas implican secuencias de transformaciones geométricas. Por ejemplo, una animación podría requerir que se traslade y gire un objeto en cada incremento del movimiento. En aplicaciones de diseño y de creación de imágenes, realizamos traslaciones, rotaciones y escalaciones para ajustar los componentes de la imagen en sus posiciones apropiadas. Aquí, consideramos cómo se pueden volver a formular las representaciones de matriz que analizamos en las secciones anteriores de modo que se puedan procesar de manera eficiente esas secuencias de transformación.

  
  

  
  

  En matemáticas, se utiliza el término coordenadas homogéneas para referirse al efecto de esta representación de ecuaciones cartesianas. Cuando se convierte un punto cartesiano (x,y) a una representación homogénea (x_h, y_h, h) las ecuaciones que contienen x y y, como f(x,y) = 0, se convierten en ecuaciones homogéneas en los tres parámetros x_h, y_h y h. Esto sólo significa que si se sustituye cada uno de los tres parámetros con cualquier valor v veces ese parámetro, el valor v se puede factorizar fuera de las ecuaciones.

  2.3 Composición de transformaciones bidimensionales

  
  
  Con las representaciones de matriz de la sección anterior, podemos establecer una matriz para cualquier secuencia de transformaciones con una matriz de transformación compuesta al calcular el producto de la matriz de las transformaciones individuales. La creación de productos de matrices de transformación a menudo se conoce como concatenación o composición de matrices. Para la representación de la matriz de columnas de las posiciones de coordenadas, formamos transformaciones compuestas al multiplicar las matrices de derecha a izquierda. Es decir, cada matriz de transformación premultiplica el producto de las matrices de transformación previas.
    

  2.3.1 Translaciones, rotaciones y escalaciones bidimensionales

  Traslaciones

  Si se aplican dos vectores de traslación sucesivos (t_x1, t_y1) y (t_x2, t_y2) en la posición de coordenadas P, la localización transformada final P' se calcula como:
   
  P' = T(t_x2, t_y2) · {T(t_x1, t_y1) · P}
  
  
  = {T(t_x2, t_y2) · T(t_x1, t_y1) } · P (5-23)
  
  
  donde se representan P y P' como vectores de columna de coordenadas homogéneas. Podemos verificar este resultado al calcular el producto de la matriz para las dos agrupaciones asociativas.   
  
  

  2.3.2 Rotación de punto de pivote general

  
  
  Con un paquete de gráficas que solo ofrece una función de rotación para girar objetos con respecto del origen de las coordenadas, podemos generar casi cualquier punto pivote seleccionado (x_r,y_r) al realizar la siguiente secuencia de operaciones de traslación-rotación-traslación:
  
  
  • Traslade el objeto de modo que se mueva la posición del punto pivote al origen de las coordenadas. 
  • Gire el objeto con respecto del origen de las coordenadas. 
  • Traslade el objeto de manera que se regrese el punto pivote a su posición original.

  2.3.3 Escalación del punto fijo general 

   

  Es una secuencia de transformación para producir escalación con respecto de una posición fija seleccionada (x_f, y_f) al utilizar una función de escalación que sólo puede escalar en relación con el origen de las coordenadas.

• Traslade el objeto de modo que el punto fijo conincida con el origen de las coordenadas.
• Escale el objeto con respecto del origen de las coordenadas.  
• Utilice la traslación inversa del paso 1 para regresar el objeto a su posición original.

La concatenación de las matrices para estas tres operaciones produce la matriz de 

escalación requerida:  

T(x_f, y_f) · S(s_x, s_y) · T(-x_f, -y_f) = S(x_f, y_f, s_x, s_y)

Esta transformación se genera de manera automática en sistemas que ofrecen una función de escalación que acepta las coordenadas para el punto fijo.

Direcciones de escalación general

Los parámetros s_x y s_y escalan objetos a l largo de las direcciones de x y de y. Podemos escalar un objeto en otras direcciones al girar el objeto para alinear las direcciones de escalación deseadas con los ejes de las coordenadas antes de aplicar la transformación de escalación.

2.3.4 Propiedades de concatenación

La multiplicación de matrices es asociativa. Para tres matrices cualesquiera, A, B y C, el producto matricial A · B · C se puede llevar a cabo al multiplicar primero A por B o multiplicar B por C:

A · B · C = (A · B) · = A · (B · C)

Por otro lado, los productos de la transformación tal vez no sean conmutativos en general, el producto matricial A · B no es igual que B · A. Esto significa que si queremos trasladar y girar un objeto, debemos tener cuidado sobre el sentido en que se evalúa la matriz compuesta. Para algunos casos especiales, como una secuencia de transformaciones todas de la misma clase, la multiplicación de las matrices de transformación es conmutativa.
Como por ejemplo, se podrían realizar dos rotaciones sucesivas en cualquier sentido y la posición final sería la misma. Esta propiedad conmutativa se aplica también para dos traslaciones sucesivas o dos escalaciones sucesivas. Otro par conmutativo de operaciones es la rotación y la escalación uniforme (s_x,s_y).

2.4 Transformación ventana-área de vista

Cuando se transfieren las descripciones del objeto al marco de referencia de vista, seleccionamos la extensión de la ventana en coordenadas de vista y los límites del:

Puerto de vista en coordenadas normalizadas. Realizamos esto al utilizar una transformación que mantiene la misma localización relativa que los objetos en un espacio normalizado tenían en coordenadas de vista. Si una posición de coordenadas se localiza, por ejemplo, en el centro de la ventana de vista, se desplegará en el centro del puerto de vista.

2.5 Transformaciones de la composición

Una transformación bidimensional general, que representa una combinación de traslaciones, rotaciones y escalaciones, se puede expresar como:

Los cuatro elementos rs_ij son los términos multiplicativos de rotación-escalación en la transformación que implican sólo ángulos de rotación y factores de escalación. Los elementos trs_x y trs_y son los términos de traslación que contienen combinaciones de distancias de traslación, coordenadas de punto pivote y de punto fijo, así como de ángulos de rotación y parámetros de escalación.

2.6 Representación matricial de transformaciones tridimensionales

Así como las transformaciones bidimensionales se pueden representar con matrices de 3 X 3 usando coordenadas homogéneas, las transformaciones tridimensionales se pueden representar con matrices de 4 X 4, siempre y cuando usemos representaciones de coordenadas homogéneas de los puntos en el espacio tridimensional. Así, en lugar de representar un punto como (x, y, z), lo hacemos como (x, y, z, w), donde dos de estos cuádruplos representan el mismo punto si uno es multiplicador distinto de cero del otro; no se permite el cuádruplo (0, 0, 0, 0). Como sucede en el espacio bidimensional, la representación estándar de un punto (x, y, z, w) con w ≠ 0 se indica con (x/w, y/w, z/w, 1). 

La transformación de un punto a esta forma se denomina homogeneización, igual que antes. Además, los puntos cuya coordenada w es cero se llaman puntos en el infinito. También existe una interpretación geométrica. Cada punto en el espacio tridimensional se representa con una línea que pasa por el origen en el espacio de cuatro dimensiones, y las representaciones homogeneizadas de estos puntos forman un subespacio tridimensional de un espacio de cuatro dimensiones definido por la ecuación w= 1.

  

El sistema de coordenadas tridimensionales que se emplea en este tema es de mano derecha, como se ilustra en la figura 5. 16. Por convención, las rotaciones positivas en el sistema de mano derecha son tales que, al ver hacia un eje positivo desde el origen, una rotación de 90⁰ en sentido contrario al giro del las manecillas del reloj transformará un eje positivo en otro.

2.7 Composición de transformaciones tridimensionales

En este apartado se analizará la forma de componer matrices de transformación tridimensionales usando un ejemplo. El objetivo es transformar los segmentos de línea dirigida

 P1,P2 y P1,P3 . De esta manera, el punto P1 se trasladará al origen P1,P2 quedará en el eje positivo y P1,P3.

Quedará en la mitad del eje positivo del plano (x, ). Las longitudes de las líneas no se verán afectadas por la transformación.

 

Las transformaciones entre sistemas de coordenadas cartesianos se llevan a cabo con una secuencia de transformaciones traslación. Rotación que hacen que los dos sistemas coincidan. Especificamos el origen de coordenadas y vectores de eje para un marco de referencia respecto al marco de referencia original. En un sistema bidimensional, un vector define completamente las direcciones del eje de coordenadas; pero en un sistema tridimensional, hay que especificar dos de las tres direcciones de los ejes. Las transformaciones geométricas son transformaciones afines. Esto es, pueden expresarse como una función lineal de posiciones de coordenadas. Traslación, rotación y escalación son transformaciones afines. Transforman líneas paralelas en líneas paralelas y posiciones de coordenadas finitas en posiciones finitas.