UNIDAD 3

MODELADO GEOMETRICO   

3.1 Modelos Geométricos

Son una representación geométrica generada por la computadora, debido a que; los componentes de un sistema se representan con entidades geométricas (líneas, polígonos o circunferencias).  

Las Formas entre los que se puede representar un modelo geométrico son: 

• Distribución espacial y forma de los componentes y otros componentes que afectan a la apariencia de los componentes.
• Conectividad de los componentes.
• Los valores de datos especificos para la aplicacion

3.1.1 Modelado de superficie

Es la  estimación de los valores de una superficie en cualquiera de sus puntos, partiendo de un conjunto de datos de muestreo (x,y,z), denominados puntos de control. 

Aplicaciones

• Geologia 
• Geofisica
• Meteorologia
• Ingenieria Ambiental
• Economia
•  Medicina   

Este modelo nos permite utilizar representaciones de los sólidos basadas el almacenamiento de la frontera, que es una entidad bidimensional. Para facilitar  la representación se suele exigir, además que la frontera sea 2-variedad, esto es, cada punto de la frontera es homeomoformo a un disco en E2.

 

Existen dos enfoques para la presentación de la superficie externa del objeto:

• El objeto se presenta con una lista de facetas, descritas por los lados y las aristas que la delimitan. La lista de caras puede incluir solamente informaciones geométricas propias de cada faceta (tamaño, posición respecto a un origen, etcétera), o puede estar estructurada en un conjunto más complejo, donde los nodos de tipo "caras"  se ligan a los nodos arista a través de los nodos "lados". Estas conexiones pueden representarse  en forma de gráficas o de una estructura de árbol.  
• El objeto se representa empleando superficies de "forma libre", que el usuario manipula interactivamente a través de puntos llamados de "control". Se utiliza una superficie representada por ecuaciones paramétricas, que efectúa una aproximación de envoltura exterior del objeto.  
  

3.1.2 Modelado de sólido 

El modelado sólido es una rama relativamente reciente del modelado geométrico, que hace hincapié en la aplicabilidad general  de los modelos, e insiste en crear solamente modelos "completos" de los sólidos, es decir, modelos que son adecuados para responder algorítmicamente a cualquier pregunta geométrica que se formule.  

El objetivo de la aplicabilidad general, separa al modelado de sólidos de otros tipos de modelado geométrico, los cuales están enfocados hacia propósitos especiales. Los modelos gráficos intentan describir un dibujo de un objeto más que el objeto en si mismo. 

El modelado de sólidos es el conjunto de teorías, técnicas y sistemas orientados a la representación " completa en cuanto e información" de sólidos.Hay dos aproximaciones diferentes al problema,  una que caracteriza al sólido como un conjunto de puntos 3D, conocida como modelo topológico  o de un conjunto de puntos, y otra que caracteriza matemáticamente al sólido a partir de la superficie que lo delimita, esto es, su piel o frontera.  

3.1.3 Procesos generativos

El término generativo se refiere a la imagen que se genera, compone o construye en una manera algorítmica a través del uso de sistemas definidos por un proceso.

 

Generativo se entiende un proceso creativo que utiliza, se apoya o interactúa con alguna dinámica natural o artificial, orgánica o inorgánica, capaz de generar automáticamente una forma estructurada o un orden estéticamente significativo.

Pero para definirse legitamente generativo, un proceso debe ser determinado y emergente, en el sentido que el orden, la arquitectura y las formas que produce no son determinados de antemano, sino que surgen en el tiempo por la libre interacción entre los elementos del sistema, es decir, materiales, elementos naturales, tecnologías, algoritmos, etcétera.

3.2 Proyecciones 

La proyección es la representación gráfica de un objeto sobre una superficie plana, obtenida al unir las intersecciones sobre dicho plano de las líneas proyectantes de todos los puntos del objeto desde el vértice. 

En términos generales, las proyecciones transforman puntos en un sistema de coordenadas de dimensión n a puntos en un sistema de coordenadas con dimensión menor que n. De hecho, durante mucho tiempo se ha usado la graficación por computador para estudiar objetos n-dimensionales por medio de su proyección sobre dos dimensiones. 

La proyección de objetos tridimensionales es definida por rayos de proyección rectos, llamados proyectores, que emanan de un centro de proyección, pasan por cada punto del objeto e intersecan un plano de proyección para formar la proyección. Por lo general, el centro de proyección se encuentra a una distancia finita del plano de proyección. Sin embargo, en algunos tipos de proyecciones es conveniente pensar en función de un centro de proyección que tienda a estar infinitamente lejos.

3.2.1 Proyección paralela

Se obtiene transfiriendo las descripciones de los objetos al plano de visualización según unas trayectorias de proyección que pueden tener cualquier dirección relativa seleccionada con respecto al vector normal del plano de visualización. 

Las proyecciones paralelas se clasifican en dos tipos, dependiendo de la relación entre la dirección de la proyección y la normal al plano de proyección. En las proyecciones paralelas ortográficas, estas direcciones son las mismas (o en sentido contrario): de manera que la dirección de la proyección es normal al plano de proyección. 

Esto no ocurre en la proyección paralela oblicua, esta se definen utilizando un vector de dirección para las líneas de proyección, y esta dirección puede especificarse de varias formas.

Los tipos más comunes de proyecciones ortográficas son la de relación frontal, elevación superior o elevación de plano y la de elevación lateral. 

3.2.2 Proyección isométrica

Una de las grandes ventajas del dibujo isométrico es que se puede realizar el dibujo de cualquier modelo sin utilizar ninguna escala especial, ya que las líneas paralelas a los ejes se toman en su verdadera magnitud. Así por ejemplo, el cubo cuando lo dibujamos en forma isométrica queda con todas sus aristas de igual medida.

Una proyección isométrica es un método gráfico de representación, más específicamente una axonométrica1 cilíndrica2 ortogonal.3Constituye una representación visual de un objeto tridimensional en dos dimensiones, en la que los tres ejes ortogonales principales, al proyectarse, forman ángulos de 120º, y las dimensiones paralelas a dichos ejes se miden en una misma escala.

 

La proyección axonométrica más comúnmente utilizada es la proyección isométrica, que se genera alineando el plano de proyección (o el objeto) de modo que el plano intersecte todos los ejes de coordenadas sobre los que está definido el objeto, denominados ejes principales, a la misma distancia del origen.Los tres ejes principales se acortan de forma igual en una proyección isométrica, por lo que se mantienen las proporciones relativas; Este no es el caso en una proyección axonométrica general, donde los factores de escala pueden ser diferentes para las tres direcciones principales.

3.2.3 Proyección de perspectiva

Este tipo de  proyección cambia los tamaños de los objetos de modo que aquellos que están mas alejados de la posición de visión se desplieguen de menor tamaño que los que están mas próximos a la posición de visión. Las líneas paralelas sobre la superficie de un objeto se proyectan ahora en líneas que tienden a converger. Los objetos desplegados como proyecciones en perspectivas parecen más naturales, ya que está es la manera en que el ojo y los lentes de una cámara forman imágenes.

Las técnicas de la proyección perspectiva son generalizaciones de los principios empleados por los artistas al preparar dibujos en perspectiva de objetos y escenas tridimensionales. El plano que la contiene se vuelve el plano de vista. Los dibujos en perspectiva se caracterizan por el acortamiento perspectivo y los puntos de fuga. El acortamiento perspectivo es la ilusión de que los objetos y longitudes parecen más pequeños conforme aumenta su distancia con respecto al centro de proyección. 

La ilusión de que, cierto conjunto de líneas paralelas parecen unirse en un punto es otra característica de los dibujos en perspectiva. A dichos puntos se les denomina puntos principales de fuga están formados por la intersección aparente de líneas paralelas a uno de los tres ejes principales x, y o z.

 

3.2.4 Identificación de superficies y líneas visibles

Es posible aclarar las relaciones de profundidad identificando las líneas visibles. Se puede realzar las líneas visibles o desplegarlas de un color diferente, también se pueden desplegar las áreas no visibles como líneas punteadas o eliminar sólo las líneas no visibles. Estos métodos también identifican las superficies visibles.
 

 

3.3 Representación tridimensional de objetos

La encarnación preferida de la invención incluye el hardware y el software para los objetos y extraer de la exploración su geometría e información del color para generar sus representaciones (tridimensionales) 3D en una computadora.

La encarnación preferida utiliza una computadora, una cámara de vídeo, una fuente de luz, y un indicador situado dentro del campo visual de la cámara fotográfica en un de posición fija. Preferiblemente, la fuente de luz proyecta una línea quebradiza de la luz en el objeto explorado. 

El software de la encarnación preferida procesa los marcos producidos por la cámara fotográfica. Localiza preferiblemente la línea iluminada y el indicador, y utiliza esta información para determinar los coordenadas 3D de los puntos iluminados. Los coordenadas 3D de los puntos se utilizan para construir las representaciones 3D de objetos. La encarnación preferida también obtiene la información del color del objeto y de los mapas explorados él a la representación 3D.

3.3.1 Superficies de polígonos

La representación de frontera que más se utiliza para un objeto gráfico tridimensional es un conjunto de polígonos de superficie que encierra el interior del objeto. Muchos sistemas gráficos almacenan todas las descripciones de objetos como conjuntos de polígonos de superficie. Esto facilita y acelera la representación de superficie y el despliegue de objetos, ya que todas las superficies se describen con ecuaciones lineales.

En algunos casos, una representación de polígonos es la única disponible, pero muchos paquetes permiten que los objetos se describan como otros esquemas, como superficies de spline, que se convierten en representaciones de polígonos para el procesamiento. Una representación de polígono para un poliedro define con precisión las características de superficie del objeto. Pero para otros objetos, las superficies seteselan (o tejan) para producir la aproximación del enlace polígonos. 

La superficie de un cilindro se representa como un enlace de polígonos. Tales representaciones son comunes en las aplicaciones de diseño y modelado de sólidos, ya que el contorno de armazón se puede desplegar con rapidez para dar una indicación general de la estructura de la superficie

 

3.3.2 Líneas y superficies curvas

Los despliegues de líneas y superficies curvas tridimensionales se pueden generara partir de un conjunto de entrada de funciones matemáticas que definen los objetos o de un conjunto de puntos de datos específicos para el usuario. Cuando las funciones se especifican, un paquete puede proyectar las ecuaciones de definición para una curva hacia el plano de despliegue y trazar las posiciones de pixel a lo largo de la trayectoria de la función proyectada Para las superficies, con frecuencia se tesela una descripción funcional para producir una aproximación de enlace de polígonos a la superficie. 

 Los polígonos específicos con cuatro o más vértices talvez no tengan todos éstos en el mismo plano. Algunos ejemplos de superficies de despliegue que se generan a partir de descripciones funcionales incluyen los cuádricos y supercuádricos. 

Cuando un conjunto de puntos de coordenadas discretos se utiliza para especificar la forma de un objeto, se obtiene una descripción funcional que se  adapte mejor a los puntos designados de acuerdo con las restricciones de la aplicación. Las representaciones de spline son ejemplos de esta clase de curvas y superficies. 

Estos métodos se utilizan por lo general para diseñar formas nuevas de objetos, para digitalizar trazos y describir trayectorias de animación. Los métodos de adaptación de las curvas se utilizan también para desplegar gráficas de valores de datos al adaptar funciones específicas de curva al conjunto discreto de datos, empleando técnicas de regresión como el método de mínimos cuadrados.   

3.3.3 Superficies cuadráticas 

Una clase de objetos que se utiliza con frecuencia son las superficies cuádricas, que se describen con ecuaciones de segundo grado (cuadráticas). Incluyen esferas, elipsoides, toros, paraboloides e hiperboloides.

Las superficies cuádricas en particular las esferas y elipsoides, son elementos comunes de las escenas gráficas y es frecuente que estén disponibles en los paquetes de gráficos como primitivos de los cuales se pueden elaborar objetos más complejos.